Le toboggan d'évacuation des avions

 L'avion est un appareil aérien de transport le plus stable et fiable pour les personnes et les biens. Il est indispensable pour se déplacer d'un continent à un autre ou alors d'un pays à un autre. Malgré sa performance, les accidents sont imprévisibles. Pour sauver les passagers, l'avion est dotée d'un toboggan d'évacuation.

Evacuation des passagers de Korean Air 

 Selon Wikipédia, un toboggan d'évacuation  est un dispositif gonflable utilisé pour évacuer un avion rapidement en cas d'incident. Il est installé sur tous les appareils commerciaux.

Lors des évacuation, le dispositif est placé de tel sorte que la hauteur du seuil de porte des avions permet aux passagers de ne pas sauter depuis le haut.

C'est pour cette raison, la Federal Aviation Administration (FAA) exige que  le dispositif d'évacuation des appareils dont le seuil de porte se situe à plus de 6 pieds (soit 1.83 m) du sol. Et que l'évacuation d'un avion devant se faire en moins de 90 secondes avec déploiement rapide.

L'objectif de ce tutoriel est de vous montrez pourquoi le toboggan est le dispositif d'évacuation des avions le plus optimal pour la sécurité des passagers. 

        Temps de descente et forme optimal

Les recommendations du FAA exposent deux problèmes à savoir: le temps de descente des passagers et la forme optimal du toboggan.  Le temps de descente depend étroitement de la forme que aura le toboggan lors de l'évacuation des passagers. Pour l'obtenir, nous allons utiliser les lois de la physique et le calcul variationnel.

Considérons que le dispositif est représentés ci-dessous.

Schema du dispositif

   Soit, un passager de masse (m) se déplaçant du haut du toboggan sans vitesse initiale et sans frottement. Nous voulons connaître le temps de descente Td qu'il met pour arriver en bas du toboggan.

                                

                                      Calcul analytique du temps de descente

Etant donné que le passager se déplace le long du toboggan sans frottement, nous pouvons appliquer la conservation de l'énergie mécanique. Lorsqu'un système est énergétiquement isolé ou pseudo-isolé sont énergie mécanique reste constante au cours du temps.

Conservation de l'énergie mécanique

  

N.B: l'énergie mécanique est la somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle.

Nous calculons l'énergie mécanique aux temps initiale et ultérieur que voici

Energie mécanique aux deux instants.

En utilisant le principe de la conservation de l'énergie mécanique et les simplifications, nous obtenons

la vitesse du passager à l'instant t.

Lorsque le passager se déplace, il réalise une distance curviligne S d'où

Calcul de la différentielle temporelle à l'aide de la distance curviligne élémentaire.

 En intégrant, nous obtenons le temps de descente du passager lorsqu'il atteint le point (x0, 0).

Temps de descente du passager.

                                                        Forme optimal

Selon la FAA, le temps d'évacuation d'un avion doit se faire à moins de 90 secondes  c'est à dire Td  < 90 s. On réalise que Td doit être minimisé.

Avec le calcul variationnel, il sera question de trouver le minimum de la fonctionnelle 

La fonctionnelle du temps de descente.

Les extremum d'une telle fonctionnelle vérifient l'équation d'Euler-Lagrange. Cette fonctionnelle ne dépend pas explicitement de x, la forme de Beltrami est ici directement applicable, à savoir

La formule de Beltrami avec c la constante.

Ce qui donne, 

La trajectoire optimale.

Posons z = y0 - y, nous avons

Changement de variable.

Avec ce changement de variable, l'orientation du dispositif change 

Changement de repère.

L'angle entre l'axe verticale et le toboggan.

 Avec cette expression et les simplifications de calcul, nous obtenons enfin la forme cycloïde du toboggan.

Forme cycloïde du toboggan, y(0) =1.83 m.

Nous pouvons conclure que le temps de descente des passagers est minimal si la forme optimale du toboggan est un  cycloïde. Grâce au principe de la conservation de l'énergie mécanique et le calcul variationnel, nous comprenons maintenant pourquoi le toboggan est le choix idéale pour le dispositif d'evacuation des avions. 

Le toboggan est un problème brachistochrone, je vous recommande de suivre la video suivante.

Le toboggan est un problème Brachistochrone.

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